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\newcommand{\eqspace}{\\ \noalign{\bigskip}}
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\begin{document}

\title{ Calculo I e II }
\author{ Átila Camurça Alves \\camurca.home@gmail.com \\IFCE - Campus Maracanaú }
\maketitle
\clearpage

\tableofcontents
\clearpage


\section{Regras de Derivação}

\subsection{Derivada de uma constante}

Se, $ f(x) = c $ então, $ f^\prime(x) = 0 $

\subsection{Derivada da potência}
Se $ g(x) = x^{ n } $ então $ g^\prime(x) = n \cdot x^{ n - 1 } $ 

\subsection{Derivada de constante seguida de função}

Se $ g(x) = c\cdot f(x) $ então $ g^\prime(x) = c\cdot f^\prime(x) $

\subsection{Derivada da soma de funções}

Sejam $ f(x), g(x) $ e $ h(x) $ funções tais que $ h(x) = f(x) + g(x) $ \\ então $ h^\prime(x) = f^\prime(x) + g^\prime(x) $

\subsection{Regra do Produto}

Se tivermos,
$$
f(x) = h(x) \cdot g(x)
$$

Então,
$$
f^\prime(x) = h^\prime(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g^\prime(x)
$$

\subsection{Regra da Divisão}

Se tivermos,
$$
f(x) = \frac{ h(x) }{ g(x) }
$$

Então,
$$
f'(x) = \frac{ h'(x) \cdot g(x) - h(x) \cdot g'(x) }{ [g(x)]^2 }
$$

\subsection{Derivada da potência negativa}

Se $ f(x) = x^{ -n } $ então $ f'(x) = -n \cdot x^{ -n \cdot -1 } $

\subsection{Derivada da potência fracionária}

Se $ f(x) = x^{ \frac{ 1 }{ n }  } $ então $ f'(x) = \dfrac{ 1 }{ n } \cdot x^{ \frac{ 1 }{ n } - 1 } $

\subsection{Regra da cadeia}

Se temos uma função $ y = f(g(x)) $ esta é dada por $ \left[ f(g(x)) \right] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Exemplo:
\begin{eqnarray*}
f(x) = (x^2 - 3x + 4)^7 = u^7\\
f'(x) = 7(x^2 - 3x + 4)^6 \cdot (2x - 3)
\end{eqnarray*}

\subsection{Derivada de potência fracionária de dois números inteiros não-nulos} 

Se $ f(x) = x^{ \frac{ n }{ m } } $ então $ f'(x) = \frac{ n }{ m } \cdot x^{ \frac{ n }{ m } - 1 }  $

\subsection{Derivada da função exponencial}

Seja $ a \in \mathbb{R} $ tal que $ 0 < a \neq 1 $. Se $ f(x) = a^x $ então $ f'(x) = a^x \cdot \ln{ |a| } $

\subsubsection{  }

Em particular, se $ a = e $, temos $ f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x \cdot \ln{ e } = e^x $

\subsection{Derivada da função Logarítimica}

Seja $ a \in \mathbb{R} $ tal que $ 0 < a \neq 1 $. Se $ f(x) = \log_{ a }{ x }   $, então
$$
f'(x) = \frac{ 1 }{ x \cdot \ln{a} } 
$$

\subsubsection{  }

Em particular, se $ a = e $, temos
$$
f(x) = \ln{ x } \Rightarrow f'(x) = \frac{ 1 }{ x \cdot \ln{ e } }  = \frac{ 1 }{ x }
$$

\section{Derivada das funções trigonométricas}

\subsection{Derivada do seno}
$$
f(x) = sen\, x \Rightarrow f'(x) = \cos{ x }
$$

\subsection{Derivada do cosseno}
$$
f(x) = \cos{ x } \Rightarrow f'(x) = -sen\, x
$$

\subsection{Derivada da tangente}
$$
f(x) = \tan{ x } = \frac{ sen\, x }{ \cos{ x } }  \Rightarrow f'(x) = \sec^2{ x }
$$

\subsection{Derivada da cotangente}
$$
f(x) = cotg\, x \Rightarrow f'(x) = -cossec^2\, x 
$$

\subsection{Derivada da secante} 
$$
f(x) = \sec{ x } \Rightarrow f'(x) = \tan{ x } \cdot \sec{ x }
$$

\subsection{Derivada da cossecante} 
$$
f(x) = cossec\, x \Rightarrow f'(x) = -cotg\, x \cdot cossec\, x
$$

\section{Derivada das funções trigonométricas inversas} 

\subsection{Arco seno} 
n.e.
$$
sen : \left[ \frac{ -\pi }{ 2 }, \frac{ \pi }{ 2 } \right] \to [-1, 1] \mbox{, bijetiva}
$$

$$
arc\, sen : [-1, 1] \to \left[ \frac{ -\pi }{ 2 }, \frac{ \pi }{ 2 } \right]
$$

$$
y = arc\, sen\, x \Leftrightarrow sen\, y = x
$$

$$
arc\, sen\, x = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 - x^2 } } 
$$

\subsection{Arco cosseno} 
$$
arc\, cos\, x = \frac{ -1 }{ \sqrt{ 1 - x^2 } } 
$$

\subsection{Arco tangente} 
$$
arc\, tan\, x = \frac{ 1 }{ 1 + x^2 } 
$$

\subsection{Arco cotangente}
$$
arc\, cot\, x = \frac{ -1 }{ 1 + x^2 } 
$$

\subsection{Arco secante} 
$$
arc\, sec\, x = \frac{ 1 }{ x \cdot \sqrt{ x^2 - 1 } }
$$

\subsection{Arco cossecante} 
$$
arc\, cos\, sec\, x = \frac{ -1 }{ x \cdot \sqrt{ x^2 - 1 } }
$$

\section{Integrais Indefinidas}

$$
\int x^n \cdot dx = \left\{\begin{array}{rc}
% -- func 1
\dfrac{ x^{ n + 1 } }{ n + 1 };&\mbox{ se } n \neq -1 \\ \noalign{\bigskip}

% -- func 2
\ln{ |x| };&\mbox{ se } n = -1
\end{array}\right.
$$

\subsection{Método da Substituição} 

Se tivermos,
$$
\int F'(g(x)) \cdot g'(x) \cdot dx \mbox{. Chamamos } u = g(x)
$$

Dessa forma, $ du = g'(x) \cdot dx $.\\
Substituindo,
$$
\int F'(u) \cdot du = F(x) + k = F(g(x)) + k
$$

\subsubsection{Exemplo A}

\begin{eqnarray*}
&& \int \frac{ 2x }{ x^2 + 1 } \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
&& u = x^2 + 1 \\
&& du = 2x \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
&& \int \frac{ du }{ u } = \int \frac{ 1 }{ u } \cdot du \\ \noalign{\bigskip}
&& \Rightarrow \ln{ |u| } + k \\ \noalign{\bigskip}
&& \Rightarrow \ln{ |x^2 + 1| } + k
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Exemplo B}

\begin{eqnarray*}
&& \int sen \, x \cdot cos\, x \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
&& u = sen\, x \\ \noalign{\bigskip}
&& du = cos \, x \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
&& \int u \cdot du = \frac{ u^2 }{ 2 } + k \\ \noalign{\bigskip}
&& \frac{ sen^2\, x }{ 2 } + k
\end{eqnarray*}

\subsection{Método da Integração por Partes} 

Se tivermos a integral,
$$
\int f(x) \cdot g'(x) \cdot dx \mbox{ , fazemos: } \left\{\begin{array}{lcl}
u = f(x) & \Rightarrow & du = f'(x) \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
dv = g'(x) \cdot dx & \Rightarrow & v = g(x)
\end{array}\right.
$$

Logo,
$$
\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du
$$

\subsubsection{Exemplo A}
$$
\int x \cdot sen\, x \cdot dx = \left\{\begin{array}{lcl}
u = x & \Rightarrow & du = dx \\ \noalign{\bigskip}
dv = sen\, x \cdot dx & \Rightarrow & v = -cos\, x
\end{array}\right.
$$

\begin{eqnarray*}
&& -x \cdot cos\, x + \int cos\, x \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
&& -x \cdot cos\, x + sen\, x + k
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Exemplo B}
$$
\int x \cdot e^x \cdot dx = \left\{\begin{array}{lcl}
u = x & \Rightarrow & du = dx \\ \noalign{\bigskip}
dv = e^x \cdot dx & \Rightarrow & v = e^x
\end{array}\right.
$$

\begin{eqnarray*}
x \cdot e^x - \int e^x \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
\Rightarrow x \cdot e^x - e^x + k
\end{eqnarray*}

\section{Integrais Definidas}

\subsection{Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)}
$$
\int_{ a }^{ b } f(x) \cdot dx = F(x)\Bigg]_a^b = F(b) - F(a)
$$

\subsubsection{Exemplo A}
$$
\int_{ 0 }^{ 1 } x \cdot dx = \frac{ x^2 }{ 2 }\Bigg]_0^1 = \frac{ 1^2 }{ 2 } - \frac{ 0^2 }{ 2 } = \frac{ 1 }{ 2 }   
$$

% área das figuras planas...

% integrais impróprias
\section{Integrais Impróprias}

\subsection{Tipo 1: Intervalos Infinitos}

\paragraph{(a)}
Se $ f $ for contínua para todo $ x \ge a $, então
$$
\int_{ a }^{ +\infty } f(x) \cdot dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{ a }^{ b } f(x) \cdot dx
$$
, se o limite existir.

\paragraph{(b)} 
Se $ f $ for contínua para todo $ x \le b $, então
$$
\int_{ -\infty }^{ b } f(x) \cdot dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{ a }^{ b } f(x) \cdot dx
$$
, se o limite existir.

\paragraph{(c)}
Se $ f $ for contínua em toda a reta e $ c \in \mathbb{R} $ qualquer, então
$$
\int_{ -\infty }^{ +\infty } f(x) \cdot dx =
 \lim_{ a \to -\infty } \int_{ a }^{ c } f(x) \cdot dx + \lim_{ b \to +\infty } \int_{ c }^{ b } f(x) \cdot dx
$$

\paragraph{}
Em todos os casos, se o limite existir dizemos que a integral é \textbf{convergente}. Caso contrário,
dizemos que ela é \textbf{divergente}.

\subsection{Exemplo A}

\paragraph{1. } $ \int_1^{ +\infty } \dfrac{ dx }{ x^2 } $. Determine se a integral converge ou diverge.

\begin{gather*}
\int_1^{ +\infty } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx 
  = \lim_{ b \to +\infty } \underbrace{
	 	% -- asterisco 1
		\int_1^{ b } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx }
	 _{ \textbf{\textborn} } \\ \noalign{\bigskip}
% -- line 2
\boxed{ \mbox{resolvendo } \textbf{\textborn} } \\ \noalign{\bigskip}
% -- line 3
\int_1^{ b } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx =
  \int_1^{ b } x^{-2} \cdot dx = -x^{-1}\Bigg]_1^b = \dfrac{ -1 }{ b } + 1 \\ \noalign{\bigskip}
\boxed{ \mbox{voltando a equação original} } \\ \noalign{\bigskip}
% -- line 4
\int_1^{ +\infty } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx
  = \lim_{ b \to +\infty } \dfrac{ -1 }{ b } + 1 = 1 \\ \noalign{\bigskip}
\end{gather*}

\paragraph{}
Resposta: A integral \textbf{converge}.

\subsection{Tipo 2: Integrandos Descontínuos}

\paragraph{(a)}
Se $ f $ é contínua em $ (a, b] $ e se $ \lim\limits_{ x \to a^+ } f(x) = \pm \infty $, então
$$
\int_{ a }^{ b } f(x) \cdot dx = \lim_{ t \to a^+ } \int_{ t }^{ b } f(x) \cdot dx
$$
, se o limite existir.

\paragraph{(b)}
Se $ f $ é contínua em $ [a, b) $ e se $ \lim\limits_{ x \to b } f(x) = \pm \infty $, então
$$
\int_{ a }^{ b } f(x) \cdot dx = \lim_{ t \to b^- } \int_{ a }^{ t } f(x) \cdot dx
$$
, se o limite existir.

\paragraph{(c)}
Se $ f $ for contínua em $ [a, b] $, exceto em $ c $, onde $ a < c < b $ e \\
$ \lim\limits_{ x \to c } | f(x) | = +\infty $, então
$$
\int_{ a }^{ b } f(x) \cdot dx = \lim_{ t \to c^- } \int_{ a }^{ t } f(x) \cdot dx + \lim_{ t \to c^+ } \int_{ t }^{ b } f(x) \cdot dx
$$

\subsection{Exemplo A}

\paragraph{1. } $ \int_{ -1 }^{ 1 } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx $. Determine se a integral diverge ou converge.

Note primeiramente que a equação é contínua exceto em 0. Para resolver o problema usaremos um certo $ t $ tendendo
a 0 pela direita e $ t $ tendendo a 0 pela esquerda.

\begin{eqnarray*}
% -- line 1
\int_{ -1 }^{ 1 } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx 
& \Rightarrow &
  \underbrace{ \lim_{ t \to 0^{-} } \int_{ -1 }^{ t } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx }_{ \textbf{\textborn} }
		\quad + \quad
  \underbrace{ \lim_{ t \to 0^{+} } \int_{ t }^{ 1 } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx }_{ \textbf{\textborn \textborn} }\\
% -- line 2 :estrela 1
\boxed{ \mbox{resolvendo } \textbf{\textborn} } \\
\int_{ -1 }^{ t } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx & = & -x^{ -1 } \Bigg]_{ -1 }^{ t } = \dfrac{ -1 }{ t } -1 \\
% -- line 3 :estrela 2
\boxed{ \mbox{resolvendo } \textbf{\textborn \textborn} } \\
\int_t^1 \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx & = & \dfrac{ -1 }{ x } \Bigg]_t^1 = -1 + \dfrac{ 1 }{ t } \\ \noalign{\bigskip}
% -- line 4
\therefore \int_{ -1 }^{ 1 } \dfrac{ 1 }{ x^2 } \cdot dx & = &
	\lim_{ t \to o^{-} } \left( \dfrac{ -1 }{ t } -1 \right) +
	\lim_{ t \to 0^{+} } \left( -1 + \dfrac{ 1 }{ t } \right) = +\infty
\end{eqnarray*}

Resposta: A integral é \textbf{divergente}.

\section{Integração das Funções Trigonométricas}

\subsection{seno} 
$$
\int sen\, x \cdot dx = -cos\, x + k
$$

\subsection{cosseno} 
$$
\int cos\, x \cdot dx = sen\, x + k
$$

\subsection{tangente} 
\begin{eqnarray*}
&& \int tan\, x \cdot dx = \int \frac{ sen\, x }{ cos\, x } \cdot dx \eqspace
&& u = cos\, x \eqspace
&& du = -sen\, x \cdot dx \eqspace
&& \Rightarrow \int \frac{ -du }{ u } \eqspace
&& -Ln\,| u | + k = -Ln\,| cos \, x | + k \eqspace
&& \Rightarrow Ln\,| cos^{-1} x | + k = Ln\,| sec\, x | + k
\end{eqnarray*}

\subsection{cotangente} 
$$
\int cot\, x \cdot dx = \int \frac{ cos\, x }{ sen\, x } \cdot dx = Ln\,| sen\, x | + k
$$

\subsection{secante} 
$$
\int sec\, x \cdot dx = \int \dfrac{ sec\, x ( sec\, x + tan\, x ) }{ sec\, x + tan\, x } \cdot dx
 = Ln\,| sec\, x + tan\, x | + k
$$

\subsection{cossecante} 
\begin{eqnarray*}
&& \int cossec\, x \cdot dx \eqspace
&& = \int \dfrac{ cossec ( cotg\, x + cossec\, x ) }{ cotg\, x + cossec\, x } \cdot dx \eqspace
&& = \int \dfrac{ cossec\, x \cdot cotg\, x - cossec^{2}x }{ cotg\, x - cossec\, x } \cdot dx  \eqspace
&& = Ln\,| cotg\, x - cossec\, x | + k
\end{eqnarray*}

\section{Integração por Substituição Trigonométrica}

\subsection{Caso 1}

A função $ \sqrt{a^2 - u^2} $, onde $ a $ é uma constante positiva. Fazemos $ u = a \cdot sen\, \theta $, onde
$ \dfrac{ -\pi }{ 2 } \le \theta \le \dfrac{ \pi }{ 2 } $.

Substituindo, teremos:
$$
\sqrt{ a^2 - u^2 } = \sqrt{ a^2 - a^2\, sen^2 \theta } 
= \sqrt{ a^2(1 - sen^2 \theta) } = \sqrt{ a^2 \cdot cos^2 \theta }
= a \cdot cos\, \theta
$$

Ademais, $ du = a \cdot cos\, \theta \cdot d\, \theta $
Com a substituição, $ u = a\, sen\, \theta \Rightarrow sen\, \theta = \dfrac{ u }{ a } $, temos:

\includegraphics[height=5cm]{img/figura_1-subs_trigonometrica-caso_01.jpeg}

\subsection{Caso 2}
A função $ \sqrt{u^2 + a^2} $, onde $ a $ é uma constante positiva. 
Fazemos $ u = a \cdot tan\, \theta \Rightarrow du = a \cdot sec^2\, \theta $ \\
Tomando $ \theta \in \left( \dfrac{ -\pi }{ 2 }, \dfrac{ \pi }{ 2 } \right)  $, temos:
$$
\sqrt{ u^2 + a^2 } = \sqrt{ a^2 \cdot tan^2\, \theta + a^2 } = \sqrt{ a^2\,(1 + tan^2\, \theta) } 
= \sqrt{ a^2 \cdot sec^2\, \theta } = a \cdot sec\ \theta
$$

Com a substituição, $ u = a \cdot tan\, \theta \Rightarrow tan\, \theta = \dfrac{ u }{ a } $, temos:

\includegraphics[height=5cm]{img/figura_2-subs_trigonometrica-caso_02.jpeg}

\subsection{Caso 3}
A função $ \sqrt{u^2 - a^2} $, onde $ a $ é uma constante positiva. 
Fazemos $ u = a \cdot sec\, \theta $, onde $ 0 \le \theta \le \dfrac{ \pi }{ 2 } $ ou $ \pi \le \theta \le \dfrac{ 3\pi }{ 2 } $
Ademais, $ du = a \cdot sec\, \theta \cdot tan\, \theta $

Substituindo, temos:
$$
\sqrt{ u^2 - a^2 } = \sqrt{ a^2 \cdot sec^2\, \theta - a^2 } 
= \sqrt{ a^2\, (sec^2\, \theta - 1) } = \sqrt{ a^2 \cdot tan^2\, \theta } = a \cdot tan\, \theta
$$

Com a substituição, $ u = a \cdot sec\, \theta \Rightarrow sec\, \theta = \dfrac{ u }{ a }  $, temos:

\includegraphics[height=5cm]{img/figura_3-subs_trigonometrica-caso_03.jpeg}

\subsection{Funções Trigonométricas}

\includegraphics[height=5cm]{img/cheatsheets-calculo_figura_1-subs_trogonometrica.jpeg}

\begin{description}
\item[seno] $ sen = \dfrac{ co }{ h }  $ 

\item[cosseno] $ cos = \dfrac{ ca }{ h }  $ 

\item[tangente] $ tan = \dfrac{ co }{ ca }  $ 

\item[cotangente] $ cotg = \dfrac{ ca }{ co }  $ 

\item[secante] $ sec = \dfrac{ h }{ ca }  $ 

\item[cossecante] $ cossec = \dfrac{ h }{ co }  $ 

\end{description}

\section{Funções Hiperbólicas}

Dado $ x \in \mathbb{R} $, definimos:

\begin{itemize}
	\item cosseno hiperbólico de $ x $
\end{itemize}

\[
	cosh\, x = \dfrac{ e^x + e^{-x} }{ 2 }
\]

\begin{itemize}
	\item seno hiperbólico de $ x $
\end{itemize}

\[
	senh\, x = \dfrac{ e^x - e^{-x} }{ 2 }
\]

\subsection{Propriedades}

\subsubsection{seno hiperbólico}

\[
	\dfrac{ d }{ dx }(senh\, x)
	= \dfrac{ d }{ dx }\left( \dfrac{ 1 }{ 2 }( e^x - e^{-x} ) \right)
	= \dfrac{ 1 }{ 2 }( e^x + e^{-x} ) = cosh\, x
\]

\begin{eqnarray*}
senh\, 0 &=& 0 \eqspace
senh\, (-x) &=& -senh\, x \eqspace
\int senh\, x \cdot dx &=& senh\, x + c
\end{eqnarray*}

\subsubsection{cosseno hiperbólico}

\[
	\dfrac{ d }{ dx }(cosh\, x)
	= \dfrac{ d }{ dx }\left( \dfrac{ 1 }{ 2 }( e^x + e^{-x} ) \right)
	= \dfrac{ 1 }{ 2 }( e^x - e^{-x} ) = senh\, x
\]

\begin{eqnarray*}
cosh\, 0 &=& 1 \eqspace
cosh\, (-x) &=& cosh\, x \eqspace
\int cosh\, x &=& senh\, x + c
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Diferença}

\begin{eqnarray*}
cosh^2\, x - senh^2\, x & = & (cosh\, x + senh\, x) \cdot (cosh\, x - senh\, x) \eqspace
	& = & \dfrac{ 2 \cdot e^x }{ 2 } \cdot \dfrac{ 2 \cdot e^{-x} }{ 2 } \eqspace
	& = & e^x \cdot e^{-x} = 1
\end{eqnarray*}


\subsection{Definições}

\[
	tagh\, x = \dfrac{ senh\, x }{ cosh\, x } 
		\qquad \qquad \qquad % espaço entre as equações
	sech\, x = \dfrac{ 1 }{ cosh\, x }
\]

\[
	cotgh\, x = \dfrac{ cosh\, x }{ senh\, x }
		\qquad \qquad \qquad % espaço entre as equações
	cossech\, x = \dfrac{ 1 }{ senh\, x }
\]

\section{Aplicação das Integrais}

\subsection{Comprimento de Arco}
Para $ f $ contínua e derivável em $ [a, b] $.

$$
C = \int_a^b \sqrt{ 1 + [f'(x)]^2 } \cdot dx
$$

\subsection{Volume de um Sólido de Revolução}

\includegraphics[height=8cm]{img/volumes-revolucao-1.jpeg}

\includegraphics[height=8cm]{img/volumes-revolucao-2.jpeg}

\subsubsection{Volume do Sólido}

$$
V = \int_a^b \pi[f(x)]^2 \cdot dx
$$ \linebreak

\textbf{Exemplo}: calcule o volume do sólido gerado quando giramos a região $ R $ em torno
do eixo $ x $.

$ R = { (x, y) \in \mathbb{R} / 0 \leq y \leq \sqrt{ r^2 - x^ 2 } } $

\begin{eqnarray*}
V & = & \pi \int_{-r}^r (\sqrt{ r^2 - x^2 })^2 \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
& = & \pi \int_{-r}^r r^2 - x^2 \cdot dx \\ \noalign{\bigskip}
& = & \pi \Bigg( r^2\, x - \dfrac{x^3}{3} \Bigg)_{-r}^{r} \\ \noalign{\bigskip}
& = & \pi \left[ \left( r^3 - \dfrac{r^3}{3} \right) - \left( -r^3 + \dfrac{r^3}{3} \right) \right] \\ \noalign{\bigskip} % -- cont.
& = & \pi \left[ 2r^3 - \dfrac{2r^3}{3} \right] \\ \noalign{\bigskip}
& = & \pi \left[ \dfrac{6r^3 - 2r^3}{3} \right] \\ \noalign{\bigskip}
V& = & \dfrac{4}{3} \pi r^3 \\ \noalign{\bigskip}
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Função Negativa em Alguns Pontos}

A função é negativa em alguns pontos do intervalo $ [a, b] $

\includegraphics[height=8cm]{img/volumes-revolucao-3.jpeg}

$$
V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 \cdot dx
$$

\subsubsection{Região entre 2 Gráficos}

A região esta entre dois gráficos de funções $ f(x) $ e $ g(x) $ de $ a $ até $ b $.

% -- imagem 4
\includegraphics[height=8cm]{img/volumes-revolucao-4.jpeg}

$$
V = \int_a^b \pi [f(x)^2 - g(x)^2] \cdot dx
$$

\subsubsection{Rotação paralela a um dos eixos}
A rotação se efetua em relação a uma reta paralela a um dos eixos. O eixo de revolução é a reta $ y = r $

% -- imagem 5
\includegraphics[height=8cm]{img/volumes-revolucao-5.jpeg}

$$
V = \int_a^b \pi [ f(x) - r ]^2 \cdot dx
$$

\newpage

\subsubsection{Região em torno do eixo Y}
A região gira em torno do eixo $ y $

% -- imagem 6
\includegraphics[height=8cm]{img/volumes-revolucao-6.jpeg}

$$
V = \pi \int_c^d [ g(y) ]^2 \cdot dy
$$

\section{Área de um sólido de revolução}

\begin{center}
\framebox[8cm][c]{$ A = 2\pi \mathlarger{\int}_a^b f(x) \cdot \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \cdot dx $}
\end{center}

\subsection{Exemplo A}

Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva dado, em torno do eixo indicado:\\
$ y = \sqrt{16 - x^2} $, $ -3 \leq x \leq 3 $; eixo dos $ x $.

\begin{eqnarray*}
A & = & 2\pi \int_{-3}^3 f(x) \cdot \sqrt{ 1 + [f'(x)]^2 } \\ \noalign{\bigskip}
\\ \noalign{\bigskip}
% -- derivada de y
y' & = & \dfrac{1}{2} \left( 16 - x^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) \\ \noalign{\bigskip}
& \Rightarrow & \dfrac{-x}{\sqrt{16 - x^2}} \\ \noalign{\bigskip}
\\ \noalign{\bigskip}
% -- voltar para a função
f(x) \cdot \sqrt{ 1 + [f'(x)]^2 } 
  & \Rightarrow & \sqrt{16 - x^2} \cdot \sqrt{1 + \dfrac{x^2}{16 - x^2}} \\ \noalign{\bigskip}
& \Rightarrow & \sqrt{16 - x^2} \cdot \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{16 - x^2}} = 4 \\ \noalign{\bigskip}
\\ \noalign{\bigskip}
% -- fazendo a integral
& \Rightarrow & 2\pi \int_{-3}^3 4 \cdot dx = 8\pi [3 - (-3)] = 48\pi \, u.A.
\end{eqnarray*}

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\section{Coordenadas Polares}

% -- imagem coordenadas polares 1
\includegraphics[height=8cm]{img/coord-polares-1.jpeg}

O ponto $ P $ fica determinado por $ (r, \, \theta) $, onde o $ |\, r\, | $ é a distância
de $ P $ até $ 0 $ e $ \theta $ é a medida, em radianos, do ângulo $ A\widehat{0}P $

A relação com o sistema de coordenadas cartesianas pode ser observada abaixo:

% -- imagem coordenadas polares 2

\begin{eqnarray*}
\begin{aligned}
cos\, \theta = \dfrac{x}{r} \\ \noalign{\bigskip}
sen\, \theta = \dfrac{y}{r} 
\end{aligned} \;
\left\{\begin{array}{rc}
% -- func 1
x = r \cdot cos\, \theta \\ \noalign{\bigskip}
% -- func 2
y = r \cdot sen\, \theta
\end{array}\right.
x^2 + y^2 = r^2
\end{eqnarray*}

\subsection{Exemplo A}

Encontre as coordenadas polares $ (r, \theta) $, com $ r < 0 $ e $ 0 < \theta < 2\pi $, para o
ponto $P$, cujas coordenadas cartesianas são $ (\sqrt{3}, -1) $.

\begin{eqnarray*}
r^2 = x^2 + y^2 \\ \noalign{\bigskip}
r^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 \\ \noalign{\bigskip}
r^2 = 3 + 1 \Rightarrow 4 \\ \noalign{\bigskip}
r = \pm \, 2 \\ \noalign{\bigskip}
\\ \noalign{\bigskip}
% -- part 1
cos\, \theta = \dfrac{x}{r} = \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \\ \noalign{\bigskip}
sen\, \theta = \dfrac{y}{r} = \dfrac{1}{2} \\ \noalign{\bigskip}
\\ \noalign{\bigskip}
% -- part 2
\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \\ \noalign{\bigskip}
\end{eqnarray*}

Resposta: $ \left(-2, \dfrac{5\pi}{6}\right) $   
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\subsection{Ângulos Notáveis}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline  & 30 \degree & 45 \degree & 60 \degree \\
\hline & & & \\
seno & $ \dfrac{1}{2} $ & $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ & $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ \\
& & & \\
cosseno & $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ & $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ & $ \dfrac{1}{2} $ \\
& & & \\
tangente & $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ & $ 1 $ & $ \sqrt{3} $ \\
& & & \\
\hline
\end{tabular} \\ \\

\textbf{Super Dica}: para gerar a tabela acima basta fazer o seguinte:\\
\begin{enumerate}
\item escreva 1, 2, 3.
\item Embaixo escreva 3, 2, 1.
\item tire a raiz quadrada de cada um.
\item divida cada um por 2.
\item divida o seno e o cosseno obtidos e ache a tangente.
\end{enumerate}


\end{document}
